Question

19．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=1+$\frac{1}{2}$a_n，寫出數(shù)列的前5項(xiàng)，并歸納{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1=1+$\frac{1}{2}$a_n，可得a₂=$\frac{3}{2}$，a₃=$\frac{7}{4}$，a₄=$\frac{15}{8}$，a₅=$\frac{31}{16}$．猜想a_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$．下面給出證明：a_n+1=1+$\frac{1}{2}$a_n，變形為${a}_{n+1}-2=\frac{1}{2}（{a}_{n}-2）$，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=1+$\frac{1}{2}$a_n，
∴a₂=$1+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
a₃=$1+\frac{3}{4}$=$\frac{7}{4}$，a₄=1+$\frac{7}{8}$=$\frac{15}{8}$，${a}_{5}=1+\frac{15}{16}$=$\frac{31}{16}$．
猜想a_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$．
下面給出證明：a_n+1=1+$\frac{1}{2}$a_n，變形為${a}_{n+1}-2=\frac{1}{2}（{a}_{n}-2）$，
∴數(shù)列{a_n-2}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為-1，公比為$\frac{1}{2}$．
∴${a}_{n}-2=-（\frac{1}{2}）^{n-1}$
∴a_n=$2-\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評 本題考查了觀察分析猜想歸納問題的能力、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了變形能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．