Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=-x²+x+2，對于給定的正數(shù)K，定義f_K（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），}&{f（x）≤K}\\{K，}&{f（x）＞K}\end{array}\right.$，若對于函數(shù)f（x）=-x²+x+2定義域內(nèi)的任意x，恒有f_K（x）=f（x），則K的最小值為$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)定義則f_K（x）=f（x），等價為f（x）≤K，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：若對于函數(shù)f（x）=-x²+x+2定義域內(nèi)的任意x，恒有f_K（x）=f（x），
則f（x）≤K，
∵f（x）=-x²+x+2=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$≤$\frac{9}{4}$，
∴K≥$\frac{9}{4}$，
即K的最小值為$\frac{9}{4}$，
故答案為：$\frac{9}{4}$．

點評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)的新定義轉(zhuǎn)化求f（x）≤K是解決本題的關(guān)鍵．