Question

【題目】已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，F為橢圓C的右焦點(diǎn)，A是右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且AF＝1．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過橢圓C上頂點(diǎn)B的直線l交橢圓另一點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)M，若，求直線l的方程；

（3）設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率不為零的直線m與橢圓C交于S，T兩點(diǎn)，直線TQ與直線x＝2交于點(diǎn)S1，試問是否為定值？若是，求出這個定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），或；（3）定值為0，理由見解析

【解析】

（1）由，得到，再由離心率，即可求出、和，然后寫出橢圓方程即可；

（2）由點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)直線方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，再由直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，求解出點(diǎn)橫坐標(biāo)，再根據(jù)，求出，即可得到直線的方程；

（3）設(shè)直線的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，表示出和；再利用點(diǎn)和點(diǎn)設(shè)直線方程，求出點(diǎn)，即可求出為定值.

（1）由題意，橢圓右準(zhǔn)線方程：，點(diǎn)，焦點(diǎn)，

因為，所以，又，

解得，，，所以，

所以橢圓方程為：；

（2）由（1）知，點(diǎn)，所以設(shè)直線方程：，

時，，所以點(diǎn)，

直線方程代入橢圓方程并整理得，，

設(shè)點(diǎn)，由韋達(dá)定理，，

，，

又，所以，解得，

所以直線：，或；

（3）由（1）知，點(diǎn)，點(diǎn)，所以設(shè)直線：，

代入橢圓方程并整理得，，

設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，

由韋達(dá)定理，，，

所以，

設(shè)直線：，

當(dāng)時，，

又，，

所以點(diǎn)，，，

，即為定值，定值為.