Question

【題目】已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，F為橢圓C的右焦點，A是右準線與x軸的交點，且AF＝1．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過橢圓C上頂點B的直線l交橢圓另一點D，交x軸于點M，若，求直線l的方程；

（3）設點，過點F且斜率不為零的直線m與橢圓C交于S，T兩點，直線TQ與直線x＝2交于點S1，試問是否為定值？若是，求出這個定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），或；（3）定值為0，理由見解析

【解析】

（1）由，得到，再由離心率，即可求出、和，然后寫出橢圓方程即可；

（2）由點坐標設直線方程，求出點坐標，再由直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理，求解出點橫坐標，再根據(jù)，求出，即可得到直線的方程；

（3）設直線的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，表示出和；再利用點和點設直線方程，求出點，即可求出為定值.

（1）由題意，橢圓右準線方程：，點，焦點，

因為，所以，又，

解得，，，所以，

所以橢圓方程為：；

（2）由（1）知，點，所以設直線方程：，

時，，所以點，

直線方程代入橢圓方程并整理得，，

設點，由韋達定理，，

，，

又，所以，解得，

所以直線：，或；

（3）由（1）知，點，點，所以設直線：，

代入橢圓方程并整理得，，

設點，點，

由韋達定理，，，

所以，

設直線：，

當時，，

又，，

所以點，，，

，即為定值，定值為.