Question

1．如圖，在凸四邊形ABCD中，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，AC⊥CD，AC=CD．當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，對(duì)角線BD的長(zhǎng)為$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 設(shè)∠ACB=β，求出AC，sinβ，利用余弦定理，即可求出對(duì)角線BD的值．

解答 解：設(shè)∠ACB=β，
在△ABC中，由余弦定理得AC²=4-$\sqrt{6}$，
由正弦定理可得sinβ=$\frac{1}{\sqrt{2}AC}$．
在△BCD中，DB²=BC²+CD²-2BC•CD•cos（90⁰+β）
=3+4-$\sqrt{6}$-2$\sqrt{3}$•CD•（-sinβ）
=7-$\sqrt{6}$+$\sqrt{6}$=7
∴DB=$\sqrt{7}$
故答案為：$\sqrt{7}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，勾股定理三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．