Question

17．設m，n∈R，若直線mx+ny=2與圓x²+y²=1相切，則m+n的取值范圍是（　　）

• A． [-2，2]
• B． [-∞，-2]∪[2，+∞）
• C． [-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]
• D． （-∞，-2$\sqrt{2}$]∪[2$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由直線mx+ny=2與圓x²+y²=1相切，得m²+n²=4，從而mn≤$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}$=2，進而（m+n）²=m²+n²+2mn≤4+2×2=8，由此能求出m+n的取值范圍．

解答 解：∵m，n∈R，直線mx+ny=2與圓x²+y²=1相切，
∴圓心（0，0）到直線的距離d=$\frac{|0+0-2|}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=1，
解得m²+n²=4，
∴mn≤$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}$=2，
∴（m+n）²=m²+n²+2mn≤4+2×2=8，
∴-2$\sqrt{2}≤m+n≤2\sqrt{2}$．
∴m+n的取值范圍是[-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]．
故選：C．

點評 本題考查代數(shù)和取值范圍的求法，考查直線方程、圓、點到直線的距離公式、基本不等式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．