【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn) (1,0),直線: ,點(diǎn)在直線上移動(dòng), 是線段軸的交點(diǎn), 異于點(diǎn)R點(diǎn)Q滿足 .

1求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;

2 的軌跡的方程為,過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的曲線

的弦. ,設(shè). 的中點(diǎn)分別為

問(wèn)直線是否經(jīng)過(guò)某個(gè)定點(diǎn)?如果是,求出該定點(diǎn),

如果不是,說(shuō)明理由.

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)以直線恒過(guò)定點(diǎn)

【解析】試題分析: 1)由已知條件知,點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn),RQ是線段FP的垂直平分線,點(diǎn)Q的軌跡E是以F為焦點(diǎn),l為準(zhǔn)線的拋物線,寫(xiě)出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.
2)設(shè)出直線AB的方程,把A、B坐標(biāo)代入拋物線方程,再利用中點(diǎn)公式求出點(diǎn)M的坐標(biāo),同理可得N的坐標(biāo),求出直線MN的斜率,得到直線MN的方程并化簡(jiǎn),可看出直線MN過(guò)定點(diǎn).

試題解析:(Ⅰ)依題意知,直線的方程為: .點(diǎn)是線段的中點(diǎn),

,是線段的垂直平分線.

是點(diǎn)到直線的距離.

∵點(diǎn)在線段的垂直平分線,∴

故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn), 為準(zhǔn)線的拋物線,

其方程為:

(Ⅱ) 設(shè), ,

ABCD,且AB、CD與拋物線均有兩個(gè)不同的交點(diǎn),故直線AB、CD斜率均存在,設(shè)直線AB的方程為

(1)—(2)得,即,

代入方程,解得.所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為

同理可得: 的坐標(biāo)為

直線的斜率為,方程為

,整理得,

顯然,不論為何值, 均滿足方程,所以直線恒過(guò)定點(diǎn)

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A.T>0?,
B.T<0?, ??
C.T<0?,
D.T>0?,

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