【題目】如圖,一塊弓形余布料EMF,點M為弧的中點,其所在圓O的半徑為4 dm(圓心O在弓形EMF內(nèi)),∠EOF=.將弓形余布料裁剪成盡可能大的矩形ABCD(不計損耗), AD∥EF,且點A、D在弧上,設(shè)∠AOD=.
(1)求矩形ABCD的面積S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當矩形ABCD的面積最大時,求cos的值.
【答案】(1) (2) cosθ=
【解析】試題分析: 分類討論,求出,可得矩形的面積與關(guān)于的函數(shù)解析式。
求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求的值。
解析:(1) 設(shè)矩形鐵片的面積為S,∠AOM=θ.
當0<θ< 時(如圖1),AB=4cosθ+2,AD=2×4sinθ,
S=AB×AD= (4cosθ+2)(2×4sinθ)=16sinθ(2cosθ+1).
當≤θ<時(如圖2),AB=2×4cos θ,AD=2×4sin θ,
故S=AB×AD=64sinθcosθ=32sin 2θ.
綜上得,矩形鐵片的面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式為
(2) 當0<θ<時,求導(dǎo),得S′=16[cosθ(2cosθ+1)+sinθ(-2sinθ)]
=16(4cos2 θ+cos θ-2).
令S′=0,得cosθ=. 記區(qū)間內(nèi)余弦值等于的角為θ0(唯一存在),
列表:
θ | (0,θ0) | θ0 | |
S′ | + | 0 | - |
S | 極大值 |
又當≤θ<時,S=32sin2θ是單調(diào)減函數(shù),所以當θ=θ0,即cosθ= 時,矩形鐵片的面積最大.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊長分別是a,b,c.滿足2acosC+ccosA=b.
(Ⅰ)求角C的大。
(Ⅱ)求sinAcosB+sinB的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè){an}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列,{bn}是等差數(shù)列,且a1=b1=1,a3+b5=13,a5+b3=21.
(Ⅰ)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 求數(shù)列{Snbn}的前n項和Tn .
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【題目】某公司租地建倉庫,每月土地占用費y1與車庫到車站的距離x成反比,而每月的庫存貨物的運費y2與車庫到車站的距離x成正比.如果在距離車站10公里處建立倉庫,這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元.求若要使得這兩項費用之和最小時,倉庫應(yīng)建在距離車站多遠處?此時最少費用為多少萬元?
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【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,AB⊥B1C.
(Ⅰ)證明:A1C1=AB1;
(Ⅱ)若AC⊥AB1 , ∠BCC1=120°,AB=BC,求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值.
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【題目】某校從高一年級學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生,將他們的模塊測試成績分為6組:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖,已知高一年級共有學(xué)生600名,據(jù)此估計,該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為 .
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【題目】已知函數(shù) 的定義域R,則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.a≤0或a≥4
B.0<a<4
C.0≤a≤4
D.a≥4
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【題目】在平面直角坐標系中,設(shè)點 (1,0),直線: ,點在直線上移動, 是線段與軸的交點, 異于點R的點Q滿足: , .
(1)求動點的軌跡的方程;
(2) 記的軌跡的方程為,過點作兩條互相垂直的曲線
的弦. ,設(shè). 的中點分別為.
問直線是否經(jīng)過某個定點?如果是,求出該定點,
如果不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
極坐標系中, 為極點,半徑為2的圓的圓心坐標為.
(1)求圓的極坐標方程;
(2)設(shè)直角坐標系的原點與極點重合, 軸非負關(guān)軸與極軸重合,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),由直線上的點向圓引切線,求切線長的最小值.
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