Question

已知函數(shù)f（x）=x²-x+a+1
（1）若f（x）≥0對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）若f（x）在區(qū)間[a，a+1]是單調(diào)函數(shù)，求a的范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）若f（x）≥0對一切實數(shù)x恒成立，則△=1-4（a+1）≤0，解得實數(shù)a的取值范圍．
（2）分析函數(shù)f（x）的單調(diào)性，結(jié)合f（x）在區(qū)間[a，a+1]是單調(diào)函數(shù)，構(gòu)造關(guān)于a的不等式，解不等式，可得答案．

解答： 解：（1）由f（x）≥0對x∈R恒成立，即x²-x+a+1≥0恒成立
∴△=1-4(a+1)≤0⇒a≥-

3

4

∴實數(shù)a的取值范圍為[-

3

4

， +∞)…（5分）
（2）∵函數(shù)f（x）=x²-x+a+1的圖象是開口朝上，且以直線x=

1

2

為對稱軸的拋物線
又∵f（x）在區(qū)間[a，a+1]是單調(diào)函數(shù)，
∴a≥

1

2

或a+1≤

1

2

即a≥

1

2

或a≤-

1

2

故實數(shù)a的取值范圍為：（-∞，-

1

2

]∪[

1

2

，+∞）

點評：本題考查的知識點是恒成立問題，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．