已知拋物線C的頂點在原點，經過點A（1，2），其焦點F在y軸上，直線y=kx+2交拋物線C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交拋物線C于點N．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）證明：拋物線C在點N處的切線與AB平行．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（Ⅰ）設拋物線C的方程為y=ax2，利用點A（1，2）在拋物線C上，即可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）把y=kx+2代入y=2x2，利用韋達定理，確定N的坐標，從而可得拋物線在點N處的切線l的方程，進而可證明切線l的與k相等，即可得到結論．
解答： 解：依題意，設拋物線C的方程為y=ax2，
（Ⅰ）∵點A（1，2）在拋物線C上，∴a=1．
∴拋物線C的方程為y=2x2．…（4分）
（Ⅱ）如圖，設A（x1，2x12），B（x2，2x22），
把y=kx+2代入y=2x2得：2x2-kx-2=0，
由韋達定理得：x1+x2=
k
2
，x1x2=-1，∴xN=xM=
x1+x2
2
=
k
4
，
即N點的坐標為（
k
4
，
k2
8
）．…（8分）
設拋物線在點N處的切線l的方程為y-
k2
8
=m（x-
k
4
），
將y=2x2代入上式得：2x2-mx+
mk
4
-
k2
8
=0，
∵直線l與拋物線C相切，所以△=m2-8（
mk
4
-
k2
8
）=m2-2mk+k2=（m-k）2=0，
∴m=k，即l∥AB．…（12分）
點評：本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查拋物線的切線，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知i為虛數(shù)單位，則復數(shù)
2i
1+i
的共軛復數(shù)是（　　）
A、1+iB、1-i
C、-1+iD、-1-i

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+bx（b∈R），則下列結論正確的是（　�。�
A、?b∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
B、?b∈R，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)
C、?b∈R，f（x）為奇函數(shù)
D、?b∈R，f（x）為偶函數(shù)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點A（-1，1），離心率為
6
3

（I）求橢圓C的方程
（II）設點B是點A關于原點的對稱點，P是橢圓C上的動點（不同于A，B），直線AP，BP分別與直線x=3交于點M，N，問是否存在點P使得△PAB和△PMN的面積相等，若存在，求出點P的坐標，若不存在請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A，B分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右頂點，點D(1，
3
2
)在橢圓C上，且直線DA與直線DB的斜率之積為-
b2
4
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）點P為橢圓C上除長軸端點外的任一點，直線AP，PB與橢圓的右準線分別交于點M，N．
①在x軸上是否存在一個定點E，使得EM⊥EN？若存在，求點E的坐標；若不存在，說明理由；
②已知常數(shù)λ＞0，求
PM
•
PN
+λ
PA
•
PB
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求函數(shù)f（x）=
x+3
-1
x+2
的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：3x2+y2=12，直線x-y-2=0交橢圓C于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的焦點坐標及長軸長；
（Ⅱ）求以線段AB為直徑的圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-x+a+1
（1）若f（x）≥0對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）若f（x）在區(qū)間[a，a+1]是單調函數(shù)，求a的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=ax+sinx+cosx．若函數(shù)f（x）的圖象上存在不同的兩點A，B，使得曲線y=f（x）在點A，B處的切線互相垂直，則實數(shù)a的取值范圍為
 
．

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