Question

已知橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過如下五個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)：P1(-1，-

2

2

)，P₂（0，1），P3(

1

2

，

2

2

)，P4(1，

2

2

)，P₅（1，1）．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A為橢圓M的左頂點(diǎn)，B，C為橢圓M上不同于點(diǎn)A的兩點(diǎn)，若原點(diǎn)在△ABC的外部，且△ABC為直角三角形，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）確定橢圓M經(jīng)過P1(-1，-

2

2

)，P₂（0，1），P4(1，

2

2

)，代入方程，即可求橢圓M的方程；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用△ABC為直角三角形，可得直線方程，利用原點(diǎn)在△ABC的外部，即可求△ABC面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由

( 1 2 )2

a2

+

( 2 2 )2

b2

＜

(-1)2

a2

+

(- 2 2 )2

b2

=

12

a2

+

( 2 2 )2

b2

＜

12

a2

+

12

b2

，知P3(

1

2

，

2

2

)和P₅（1，1）不在橢圓M上，即橢圓M經(jīng)過P1(-1，-

2

2

)，P₂（0，1），P4(1，

2

2

)．
于是a²=2，b²=1．
所以 橢圓M的方程為：

x2

2

+y2=1．…（2分）
（Ⅱ）①當(dāng)∠A=90°時(shí)，設(shè)直線BC：x=ty+m，
由

x2+2y2=2 x=ty+m

得（t²+2）y²+2tmy+（m²-2）=0．
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則△=16-8m²+8t²＞0，

y1+y2=- 2tm t2+2 y1y2= m2-2 t2+2

所以kABkAC=

y1

x1+ 2

•

y2

x2+ 2

=

y1y2

(ty1+m+ 2 )(ty2+m+ 2 )

=

y1y2

t2y1y2+t(m+ 2 )(y1+y2)+(m+ 2 )2

=

m- 2

2(m+ 2 )

=-1．
于是m=-

2

3

，此時(shí)△=16-

16

9

+8t2＞0，
所以直線BC：x=ty-

2

3

．
因?yàn)?span id="xtzjrrr" class="MathJye">y1y2=-

16 9

t2+2

＜0，故線段BC與x軸相交于M(-

2

3

，0)，
即原點(diǎn)在線段AM的延長(zhǎng)線上，即原點(diǎn)在△ABC的外部，符合題設(shè)．…（6分）
所以 S△ABC=

1

2

|AM|•|y1-y2|=

2

3

|y1-y2|=

2 9 [(y1+y2)2-4y1y2]

=

2 9 [( 2 3 2 t t2+2 )2-4(- 16 9 t2+2 )]

=

16 81 × 9t2+16 (t2+2)2

=

16 81 (4- 4t4+7t2 t4+4t2+4 )

≤

8

9

．
當(dāng)t=0時(shí)取到最大值

8

9

．…（9分）
②當(dāng)∠A≠90°時(shí)，不妨設(shè)∠B=90°．
設(shè)直線AB：x=ty-

2

(t≠0)，由

x2+2y2=2 x=ty- 2

得(t2+2)y2-2

2

ty=0．
所以 y=0或y=

2 2 t

t2+2

．
所以B(

2 t2-2 2

t2+2

，

2 2 t

t2+2

)，由AB⊥BC，可得直線BC：y=-tx+

2 t3

t2+2

．
由

x2+2y2=2 y=-tx+ 2 t3 t2+2

得(t2+2)(2t2+1)y2-2

2

t3y-

8t2(t2+1)

t2+2

=0．
所以 yByC=-

8t2(t2+1)

(t2+2)2(2t2+1)

＜0．
所以線段BC與x軸相交于N(

2 t2

t2+2

，0)．
顯然原點(diǎn)在線段AN上，即原點(diǎn)在△ABC的內(nèi)部，不符合題設(shè)．
綜上所述，所求的△ABC面積的最大值為

8

9

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．