Question

8．設(shè)函數(shù)$f（x）=x+\frac{a}{x}+b$且$f（1）=2，f（2）=\frac{5}{2}$．
（1）求f（x）的解析式并判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)性，并用定義法證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件建立方程關(guān)系，求出a，b的值，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)$f（x）=x+\frac{a}{x}+b$且$f（1）=2，f（2）=\frac{5}{2}$．
∴f（1）=1+a+b=2且f（2）=2+$\frac{a}{2}$+b=$\frac{5}{2}$，
解得a=1，b=0，
則f（x）=x+$\frac{1}{x}$，
則函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，
則f（-x）=-x-$\frac{1}{x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）=-f（x），
則函數(shù)是奇函數(shù)；
（2）證明：設(shè)0＜x₁＜x₂，則有f（x₁）-f（x₂）=（${x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}$）-（${x}_{2}+\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）+（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$
當(dāng)1＜x₁＜x₂時，x₁x₂＞1，
即，x₁x₂-1＞0，
又∵x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)在（1，+∞）上為增函數(shù)．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，利用函數(shù)奇偶性的定義和單調(diào)性的 定義是解決本題的關(guān)鍵．