Question

正四棱錐相鄰兩個(gè)側(cè)面所成的二面角的平面角為α，側(cè)面與底面的二面角的平面角為β，則2cosα+cos2β的值是（　　）

• A、1
• B、2
• C、-1
• D、

  3

  2

Answer 1

分析：設(shè)正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為b，作出兩個(gè)二面角的平面角，求解即可．

解答：解：設(shè)正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為b，如圖
過(guò)S做SE⊥AB與E，SO⊥底面ABCD與O，連EO，則∠SEO即為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，即為β，
在三角形SEO中，SE²=b2-

1

4

a2，OE=

a

2

，所以cos²β=

1 4 a2

b2- 1 4 a2

，cos2β=2cos²β-1=

1 2 a2

b2- 1 4 a2

-1
過(guò)B做BH⊥SA與H，連CH，由△SAB≌△SAC，所以CH⊥SA，則角BHC即為兩個(gè)側(cè)面所成的二面角的平面角，即α，
在△BCH中，BC=a，BH=CH=

a b2- 1 4 a2

b

，由余弦定理可得cosα=

- 1 4 a2

b2- 1 4 a2

，
所以2cosα+cos2β=2（cosα+cos²β ）-1=0-1=-1
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的做法和求解、解三角形知識(shí)，考查空間想象能力和運(yùn)算能力．