Question

11．已知數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{2}{3}$）^n-1，n∈N^*，．求證：數(shù)列{b_n}中的任意三項不可能成等差數(shù)列．

Answer 1

分析 根據(jù)等差數(shù)列的定義，利用反證法進行證明即可．

解答 解：假設(shè)數(shù)列{b_n}存在三項b_r、b_s、b_t（r＜s＜t）按某種順序成等差數(shù)列，
由于數(shù)列{b_n}是首項為$\frac{1}{4}$，公比為$\frac{2}{3}$的等比數(shù)列，
是有b_t＞b_s＞b_r，則只可能有2b_s=b_r+b_t成立．兩邊同乘3^t-12^1-r，
化簡得3^t-r+2^t-r=2•2^s-r3^t-s，
由于r＜s＜t，所以上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，故上式不可能成立，導(dǎo)致矛盾．
故數(shù)列{b_n}中任意三項不可能成等差數(shù)列．

點評 本題主要考查反證法的應(yīng)用，根據(jù)等差數(shù)列的定義是解決本題的關(guān)鍵．