【題目】已知橢圓:的離心率為,且過點(diǎn),其右焦點(diǎn)為.點(diǎn)是橢圓上異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn),連接并延長交橢圓于點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,為坐標(biāo)原點(diǎn),且直線與右準(zhǔn)線交于點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若,求點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)(2)或.
【解析】
(1)由離心率得出a、b、c的等量關(guān)系,再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入橢圓方程,可求出a、b、c的值,從而得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)解法1:設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)(y0≠0),對PF與x軸是否垂直進(jìn)行分類討論,在兩種情況下求中點(diǎn)M的坐標(biāo),寫出直線OM的方程,并求出點(diǎn)N的坐標(biāo),結(jié)合條件MN=2OM以及點(diǎn)P的坐標(biāo)橢圓C的方程可求出點(diǎn)P的坐標(biāo);解法2:對直線PQ與x軸是否垂直進(jìn)行分類討論,在第一種情況PQ⊥x軸時,分別求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo),并對條件MN=2OM進(jìn)行驗(yàn)證是否滿足題意;第二種情況就是直線PQ的斜率存在時,設(shè)直線PQ的方程為y=k(x﹣1)(k≠0),將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,并求出線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo),由MN=2ON得出k的值,從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo).
(1)由題意可知解得,,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)法1:設(shè)().
當(dāng)時,點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)坐標(biāo)為,,不符合題意;
當(dāng)時,直線的方程為,代入的方程,消去整理得
,
所以中點(diǎn)的橫坐標(biāo),因?yàn)?/span>,橢圓的右準(zhǔn)線為,所以,從而,即. 又因?yàn)?/span>,所以,解得或,故點(diǎn)的坐標(biāo)為或.
法2:當(dāng)直線的斜率不存在時,點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)坐標(biāo)為,,不符合題意;當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線:,聯(lián)立得
,所以中點(diǎn)的橫坐標(biāo),因?yàn)?/span>,橢圓的右準(zhǔn)線為,所以,從而,解之得.當(dāng)時,:,聯(lián)立得或;
當(dāng)時,:,聯(lián)立得或.
故點(diǎn)的坐標(biāo)為或.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)生對某小區(qū)30位居民的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查,并用如圖所示的莖葉圖表示他們的飲食指數(shù)(說明:圖中飲食指數(shù)低于70的人,飲食以蔬菜為主;飲食指數(shù)高于70的,飲食以肉類為主).
(1)根據(jù)莖葉圖,說明這30位居民中50歲以上的人的飲食習(xí)慣;
(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成如下2×2列聯(lián)表;
主食蔬菜 | 主食肉類 | 總計 | |
50歲以下 | |||
50歲以上 | |||
總計 |
(3)能否有99%的把握認(rèn)為居民的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)?
獨(dú)立性檢驗(yàn)的臨界值表
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年9月16日下午5時左右,今年第22號臺風(fēng)“山竹”在廣東江門川島鎮(zhèn)附近正面登陸,給當(dāng)?shù)厝嗣裨斐闪司薮蟮呢敭a(chǎn)損失,某記者調(diào)查了當(dāng)?shù)啬承^(qū)的100戶居民由于臺風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失,將收集的數(shù)據(jù)分成,,,,五組,并作出如下頻率分布直方圖.
(Ⅰ)根據(jù)頻率分布直方圖估計該小區(qū)居民由于臺風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失的眾數(shù)和平均值.
(Ⅱ)“一方有難,八方支援”,臺風(fēng)后居委會號召小區(qū)居民為臺風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款,記者調(diào)查的100戶居民捐款情況如下表格,在表格空白處填寫正確數(shù)字,并說明是否有99%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān)?
(Ⅲ)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率,現(xiàn)在從該地區(qū)大量受災(zāi)居民中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1戶居民,抽取3次,記被抽取的3戶居民中自身經(jīng)濟(jì)損失超過元的人數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求的分布列及期望.
參考公式:,其中
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形(及其內(nèi)部)以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的,點(diǎn)是弧上的一點(diǎn),點(diǎn)是弧的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)當(dāng)且時,求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且.
(1)判斷函數(shù)的奇偶性;
(2) 判斷函數(shù)在(1,+∞)上的單調(diào)性,并用定義證明你的結(jié)論;
(3)若,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲廠根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計規(guī)律:每生產(chǎn)產(chǎn)品(百臺),其總成本為(萬元),其中固定成本為2.8萬元,并且每生產(chǎn)1百臺的生產(chǎn)成本為1萬元(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本),銷售收入(萬元)滿足,假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡(即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉),根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律,完成下列問題:
(1)寫出利潤函數(shù)的解析式(利潤=銷售收入-總成本);
(2)甲廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時,可使盈利最多?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,直線與拋物線交于兩點(diǎn).
(Ⅰ)若直線過焦點(diǎn),且與圓交于(其中在軸同側(cè)),求證: 是定值;
(Ⅱ)設(shè)拋物線在和點(diǎn)的切線交于點(diǎn),試問: 軸上是否存在點(diǎn),使得為菱形?若存在,請說明理由并求此時直線的斜率和點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院為了對2018年錄取的大一新生有針對性地進(jìn)行教學(xué).從大一新生中隨機(jī)抽取40名,對他們在2018年高考的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行調(diào)查,統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)40名新生的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)分布在內(nèi).當(dāng)時,其頻率.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)請?jiān)诖痤}卡中畫出這40名新生高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖,并估計這40名新生的高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的平均數(shù);
(Ⅲ)從成績在100~120分的學(xué)生中,用分層抽樣的方法從中抽取5名學(xué)生,再從這5名學(xué)生中隨機(jī)選兩人甲、乙,記甲、乙的成績分別為,求概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)當(dāng)時, 取得極值,求的值;
(Ⅱ)當(dāng)函數(shù)有兩個極值點(diǎn),且時,總有 成立,求的取值范圍.
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