Question

10．根據(jù)某電子商務平臺的調(diào)查統(tǒng)計顯示，參與調(diào)查的1000位上網(wǎng)購物者的年齡情況如圖．
（1）已知[30，40）、[40，50）、[50，60）三個年齡段的上
網(wǎng)購物者人數(shù)成等差數(shù)列，求a，b的值；
（2）該電子商務平臺將年在[30，50）之間的人群定為高消費人群，其他的年齡段定義為潛在消費人群，為了鼓勵潛在消費人群的消費，該平臺決定發(fā)放代金券，高消費人群每人發(fā)放50元的代金券，潛在消費人群每人發(fā)放80元的代金券．已經(jīng)采用分層抽樣的方式從參與調(diào)查的1000位上網(wǎng)購物者中抽取了10人，現(xiàn)在要在這10人中隨機抽取3人進行回訪，求此三人獲得代金券總和X的分布列與數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）由于五個組的頻率之和等于1，故：0.015×10+10a+10b+0.015×10+0.01×10=1，且a-b=b-0.015，聯(lián)立解出即可得出．
（2）由已知高消費人群所占比例為10（a+b）=0.6，潛在消費人群的比例為0.4．由分層抽樣的性質(zhì)知抽出的10人中，高消費人群有6人，潛在消費人群有4人．隨機抽取的三人中代金券總和X可能的取值為：240，210，180，150．再利用“超幾分布列”的概率計算公式及其數(shù)學期望即可得出．

解答 解：（1）由于五個組的頻率之和等于1，故：0.015×10+10a+10b+0.015×10+0.01×10=1，且a-b=b-0.015
聯(lián)立解出a=0.035，b=0.025
（2）由已知高消費人群所占比例為10（a+b）=0.6，潛在消費人群的比例為0.4，
由分層抽樣的性質(zhì)知抽出的10人中，高消費人群有6人，潛在消費人群有4人，
隨機抽取的三人中代金券總和X可能的取值為：240，210，180，150．
$P（X=240）=\frac{C_4^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{30}$；$P（X=210）=\frac{C_4^2C_6^1}{{C_{10}^3}}=\frac{3}{10}$$P（X=180）=\frac{C_4^1C_6^2}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{2}$；$P（X=150）=\frac{C_6^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{6}$
列表如下：

X	240	210	180	150
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

數(shù)學期望$EX=240×\frac{1}{30}+210×\frac{3}{10}+180×\frac{1}{2}+150×\frac{1}{6}=186$

點評 本題考查了頻率分布直方圖“超幾分布列”的概率計算公式及其數(shù)學期望、分層抽樣的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．