Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x²-x（a∈R）在x=0處取得極值．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明：ln（x+1）≤x²+x；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=-

5

2

x+b在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=

1

x+a

-2x-1，由在x=0處取得極值，可得f′（0）=0，解出即可．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=ln（x+1）-x²-x，其定義域?yàn)閧x|x＞-1}．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上的最值，即可證明．
（3）f（x）=-

5

2

x+b即ln（x+1）-x²+

3

2

x-b=0，令g（x）=ln（x+1）-x²+

3

2

x-b，x∈（-1，+∞）．關(guān)于x的方程f（x）=-

5

2

x+b在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根?g（x）=0在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，數(shù)形結(jié)合即可得出．

解答： （1）解：f′（x）=

1

x+a

-2x-1，
∵在x=0處取得極值，
∴f′（0）=0，
∴

1

a

-1=0，解得a=1．
經(jīng)過驗(yàn)證a=1時(shí)，符合題意．
（2）證明：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=ln（x+1）-x²-x，其定義域?yàn)閧x|x＞-1}．
f′（x）=

1

x+1

-2x-1=

-x(2x+3)

x+1

，
令f′（x）=0，解得x=0．
當(dāng)x＞0時(shí)，令f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，令f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
∴f（0）為函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上的極大值即最大值．
∴f（x）≤f（0）=0，∴l(xiāng)n（x+1）≤x²+x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)．
（3）解：f（x）=-

5

2

x+b即ln（x+1）-x²+

3

2

x-b=0，
令g（x）=ln（x+1）-x²+

3

2

x-b，x∈（-1，+∞）．
關(guān)于x的方程f（x）=-

5

2

x+b在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根?g（x）=0在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．
g′（x）=

1

x+1

-2x+

3

2

=

-(4x+5)(x-1)

2(x+1)

，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增．
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．
∴

g(0)=-b≤0 g(1)=ln2-1+ 3 2 -b＞0 g(2)=ln3-1-b≤0

，
∴ln3-1≤b≤ln2+

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．