Question

12．如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點(diǎn)，PBC為割線，弦CD∥AP，AD、BC相交于E點(diǎn)，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且∠EDF=∠ECD．
（1）求證：△DEF∽△PEA；
（2）若EB=DE=6，EF=4，求PA的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）證明∠APE=∠EDF．又結(jié)合∠DEF=∠AEP即可證明△DEF∽△PEA；
（2）利用△DEF∽△CED，求EC的長(zhǎng)，利用相交弦定理，求EP的長(zhǎng)，再利用切割線定理，即可求PA的長(zhǎng)．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）證明：∵CD∥AP，
∴∠APE=∠ECD，
∵∠EDF=∠ECD，
∴∠APE=∠EDF．
又∵∠DEF=∠AEP，
∴△DEF∽△PEA．…（5分）
（2）∵∠EDF=∠ECD，∠CED=∠FED，
∴△DEF∽△CED，
∴DE：EC=EF：DE，即DE²=EF•EC，
∵DE=6，EF=4，于是EC=9．
∵弦AD、BC相交于點(diǎn)E，∴DE•EA=CE•EB． …（7分）
又由（1）知EF•EP=DE•EA，故CE•EB=EF•EP，即9×6=4×EP，
∴EP=$\frac{27}{2}$．   …（8分）
∴PB=PE-BE=$\frac{15}{2}$，PC=PE+EC=$\frac{45}{2}$，
由切割線定理得：PA²=PB•PC，即PA²=$\frac{15}{2}$×$\frac{45}{2}$，進(jìn)而PA=$\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查與圓有關(guān)的比例線段，考查三角形的相似，考查相交弦定理，切割線定理的運(yùn)用，屬于中檔題．