Question

4．已知命題P：若冪函數(shù)f（x）=x^a過點(diǎn)（2，8）．實(shí)數(shù)t滿足f（2-t）＞f（t-1），命題Q：實(shí)數(shù)t滿足2^t-1＞1，P與Q有且僅有一個(gè)為真，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)冪函數(shù)的方程求出a的值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出t的取值范圍，根據(jù)復(fù)合命題真假關(guān)系建立不等式關(guān)系即可．

解答 解：若冪函數(shù)f（x）=x^a過點(diǎn)（2，8）．則f（2）=2^a=8，則a=3，則f（x）=x³，為增函數(shù)，
由f（2-t）＞f（t-1），得2-t＞t-1，得t＜$\frac{3}{2}$，即P：t＜$\frac{3}{2}$，
由2^t-1＞1得t-1＞0，則t＞1，即Q：t＞1，
∵P與Q有且僅有一個(gè)為真，
∴若P真Q假，則$\left\{\begin{array}{l}{t＜\frac{3}{2}}\\{t≤1}\end{array}\right.$得t≤1，
若P假Q(mào)真，則$\left\{\begin{array}{l}{t≥\frac{3}{2}}\\{t＞1}\end{array}\right.$，則t≥$\frac{3}{2}$，
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是t≤1或t≥$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合命題的真假關(guān)系，根據(jù)條件求出命題為真命題的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．