Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，AC與BD交于O點，E為PC的中點，AD=CD=1，PD=2，DB=2

2

．
（Ⅰ）證明PA∥平面BDE；
（Ⅱ）證明AC⊥平面PBD；
（Ⅲ）求三棱錐B-AEC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=H，得到EH是三角形PAC的中位線，故EH∥PA，從而證明PA∥平面BDE．
（Ⅱ）由PD⊥平面ABCD可得PD⊥AC，由（Ⅰ）知，BD⊥AC，故AC⊥平面PBD．
（Ⅲ）取線段CD的中點F，則EF∥PD，利用V_B-AEC=V_E-ABC，即可求三棱錐B-AEC的體積．

解答： （Ⅰ）證明：連接OE，在△ADC中，因為AD=CD，且DB平分∠ADC，
所以O(shè)為AC的中點，
又由題設(shè)知E為PC的中點，故EO是三角形PAC的中位線，故EO∥PA，
又EO?平面BDE，PA?平面BDE，所以，PA∥平面BDE．
（Ⅱ）證明：因為PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以，PD⊥AC．
由（Ⅰ）知，BD⊥AC，PD∩BD=D，故AC⊥平面PBD．
（Ⅲ）解：取線段CD的中點F，則EF∥PD，
∵PD⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，EF=1，
△ADC為等腰直角三角形，AD=CD=1，
∴AC=

2

，DO=

2

2

，DB=

3 2

2

，
∴V_B-AEC=V_E-ABC=

1

3

S_△ABC•EF=

1

2

．

點評：本題考查證明線面平行、線面垂直的方法，求棱錐的體積，推出AC垂直于BD是解題的關(guān)鍵．