Question

如圖，六棱錐的底面是邊長為1的正六邊形，底面。
（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若直線PC與平面PDE所成角的正弦值為，求六棱錐高的大小。

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）由線線垂直得到線面垂直CD⊥平面PAC，進而求證出面面垂直；（Ⅱ）設AP＝h，求出平面PDE的一個法向量，再由線面成角的正弦值得到關于h的方程，解出即可.
試題解析：（Ⅰ）在正六邊形ABCDEF中，CD⊥AC．
因為PA⊥底面ABCDEF，CDÌ平面ABCDEF，所以CD⊥PA．
又AC∩PA＝A，所以CD⊥平面PAC．
因為CDÌ平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD．

（Ⅱ）如圖，分別以AC，AF，AP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A-xyz．
設AP＝h（h＞0）．
則P(0，0，h)，C(，0，0)，D(，1，0)，E(，，0)．
＝(，0，－h(huán))，＝(，1，－h(huán))，＝(－，，0)．
設面PDE的一個法向量為n＝(x，y，z)，則n·＝0，n·＝0，
所以取n＝(h，h，2)．
記直線PC與平面PDE所成的角為θ，則
sinθ＝|cosá，nñ|＝＝，
由＝，解得h＝．
所以六棱錐P-ABCDEF高為．