Question

8．已知命題p：$\frac{{x}^{2}}{m+2}$-$\frac{{y}^{2}}{m-3}$=1表示的曲線為雙曲線：命題q：方程mx²+（m+3）x+4=0無正實根．若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 求出命題p、q為真命題時m的取值范圍，再根據(jù)p∨q為真命題，p∧q為假命題時，命題p、q一真一假，求出m的取值范圍．

解答 解：∵命題p：$\frac{{x}^{2}}{m+2}$-$\frac{{y}^{2}}{m-3}$=1表示曲線為雙曲線，
∴（m+2）（m-3）＞0，
∴m＜-2或m＞3；
∵命題q：方程mx²+（m+3）x+4=0無正實根，
則（1）當m=0時，方程為3x+4=0無正實根，滿足題意；
（2）當m≠0時，△=（m+3）²-16m=m²-10m+9，
①當△＜0時，解得1＜m＜9，此時方程mx²+（m+3）x+4=0無實根，滿足題意；
②當△≥0時，解得m≤1或m≥9，此時方程mx²+（m+3）x+4=0無正實根，
需$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{m+3}{m}＜0}\\{\frac{4}{m}＞0}\end{array}\right.$，解得m＞0，故0＜m≤1或m≥9；
綜上，命題q為真命題時m≥0；
若若p∨q為真命題，p∧q為假命題時，命題p、q一真一假，
當p為真q為假時，m＜-2，
當p為假q為真時，0≤m≤3，
∴m的取值范圍是m＜-2或0≤m≤3．

點評 本題利用復(fù)合命題的真假判定，考查了方程的根及雙曲線的標準方程，解題的關(guān)鍵是求命題p、q為真時a的范圍．