Question

16．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AC=5，則直三棱柱內(nèi)切球的表面積的最大值為25（3-3$\sqrt{2}$）π．

Answer 1

分析 棱柱底面三角形的內(nèi)切圓即為球的大圓，求出直三棱柱內(nèi)切球的半徑的最大值，即可得出結(jié)論．

解答 解：設棱柱的內(nèi)切球的半徑為r，則Rt△ABC的內(nèi)切圓為球的大圓，
設AB=a，BC=b，則a²+b²=25，
由等面積可得$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}（a+b+5）r$，
∴r=$\frac{ab}{a+b+5}$．
設a=5cosα，b=5sinα，則r=$\frac{25sinαcosα}{5cosα+5sinα+5}$，
設t=cosα+sinα，（|t|≤$\sqrt{2}$），r=$\frac{5}{2}$（t-1），
∴r_max=$\frac{5}{2}$（$\sqrt{2}$-1），
∴直三棱柱內(nèi)切球的表面積的最大值為25（3-3$\sqrt{2}$）π．
故答案為：25（3-3$\sqrt{2}$）π．

點評 本題考查了棱柱的結(jié)構特征，棱柱與內(nèi)切球的關系，屬于中檔題．