Question

1．已知拋物線y²=4x截直線y=2x+m所得弦長AB=3$\sqrt{5}$，
（1）求m的值；
（2）設(shè)P是x軸上的一點，且△ABP的面積為9，求P的坐標．

Answer 1

分析 （1）將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可求得b值，從而解決問題．
（2）設(shè)P（a，0），先求點P（a，0）到AB：2x-y-4=0距離，再根據(jù)三角形的面積公式，求出a 值，可求P得坐標．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=2x+m}\end{array}\right.$，
∴4x²+4（m-1）x+m²=0，
由△＞0有  16（m-1）²-16m²＞0，
解得 m＜$\frac{1}{2}$；
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），則x₁+x₂=1-m，x₁x₂=$\frac{1}{4}{m}^{2}$，
∵|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{2}^{2}}$$\sqrt{（1-m）^{2}-{m}^{2}}$=$\sqrt{5}$•$\sqrt{1-2m}$=3$\sqrt{5}$，
解得 m=-4．
（2）設(shè)點P（a，0），P到直線AB的距離為d，
則d=$\frac{|2a-0-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2|a-2|}{\sqrt{5}}$，
又S_△ABP=$\frac{1}{2}$|AB|•d=9=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{5}$×$\frac{2|a-2|}{\sqrt{5}}$=3|a-2|，
∴|a-2|=3，
解得a=5或a=-1，
故點P的坐標為（5，0）或（-1，0）

點評 本題主要考查了直線與拋物線相交求解弦長，關(guān)鍵是根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系表示由AB=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，這是圓錐曲線的考查的熱點之一．