20．設(shè)a，b，c＞0，a+b+c=1，求證：$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$+$\sqrt{3c+1}$≤3$\sqrt{2}$．

分析 由柯西不等式得：（$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$+$\sqrt{3c+1}$）2≤（12+12+12）[（$\sqrt{3a+1}$）2+（$\sqrt{3b+1}$）2+（$\sqrt{3c+1}$）2]=3[3（a+b+c）+3]=18，即可證明結(jié)論．

解答 證明：由柯西不等式得：（$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$+$\sqrt{3c+1}$）2≤（12+12+12）[（$\sqrt{3a+1}$）2+（$\sqrt{3b+1}$）2+（$\sqrt{3c+1}$）2]=3[3（a+b+c）+3]=18，
∴$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$+$\sqrt{3c+1}$≤3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查柯西不等式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用柯西不等式是關(guān)鍵．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

10．某全日制大學(xué)共有學(xué)生5400人，其中�？粕�1500人，本科生有3000人，研究生有900人．現(xiàn)采用分層抽樣的方法調(diào)查學(xué)生利用因特網(wǎng)查找學(xué)習(xí)資料的情況，抽取的樣本為180人，則應(yīng)在�？粕⒈究粕c研究生這三類學(xué)生中分別抽�。ā　。�
A．55人，80人，45人B．40人，100人，40人C．60人，60人，60人D．50人，100人，30人

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

11．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x}$+1+2alnx（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程為y=b，求a+b的值；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，并且x1＜x2．
①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
②若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））兩點(diǎn)連線的斜率為k，求證：$\frac{1}{2}$k-1＞a．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

8．函數(shù)f（x）=cos2x+4cosx的值域?yàn)閇-3，5]．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（2cos2$\frac{φ}{2}$-1，sinφ），且函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$（0＜φ＜π）在x=π時(shí)取得最小值．求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．已知f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是R上的函數(shù)，其圖象交x軸于A、B、C三點(diǎn)，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），若函數(shù)f（x）在[-2，0]和[5，7]上均為單調(diào)函數(shù)，且f（x）在[-2，0]和[5，7]上的單調(diào)性相同，在[0，3]和[5，7]上的單調(diào)性相反．
（1）求實(shí)數(shù)c的值，并用a、b表示d；
（2）證明：曲線y=f（x）上不存在點(diǎn)M，使曲線在點(diǎn)M處的切線與直線x+3by+a=0垂直．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

11．如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1上的點(diǎn)．試確定D的位置，使得DC1⊥平面DBC，并求此時(shí)二面角A-BD-C的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．已知sinα+cosα=$\frac{1}{3}$，且0＜α＜π．求sin2α，cos2α，tan2α的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

9．已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）．
（I）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若f（C）=1，sinB=2sinA，且△ABC的面積為2$\sqrt{3}$，求c的值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案