Question

9．已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）．
（I）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f（C）=1，sinB=2sinA，且△ABC的面積為2$\sqrt{3}$，求c的值．

Answer 1

分析 （I）f（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，即可確定出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由f（C）=1確定出C的度數(shù)，sinB=2sinA利用正弦定理化簡得到b=2a，利用三角形面積公式列出關系式，把sinC與已知面積代入求出ab的值，聯(lián)立求出a與b的值，利用余弦定理求出c的值即可．

解答 解：（I）f（x）=2cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∵ω=2，∴f（x）的最小正周期為π；
（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=1，
∴sin（2C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{π}{6}$＜2C+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，
∴2C+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，即C=$\frac{π}{3}$，
∵sinB=2sinA，∴b=2a①，
∵△ABC面積為2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$，即ab=8②，
聯(lián)立①②，得：a=2，b=4，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=12，即c=2$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及三角函數(shù)的周期性，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．