Question

11．如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA₁=4，D是棱AA₁上的點．試確定D的位置，使得DC₁⊥平面DBC，并求此時二面角A-BD-C的大小．

Answer 1

分析 首先以C為原點，直線CA，CB，CC₁分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后確定幾個點的坐標(biāo)，D在棱AA₁上，從而設(shè)D（2，0，z），根據(jù)$\overrightarrow{D{C}_{1}}⊥\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{D{C}_{1}}⊥\overrightarrow{CB}$即可求出z=2，從而得到點D的位置為棱AA₁的中點．此時$\overrightarrow{D{C}_{1}}$便是平面DBC的法向量，可取AB中點E，則容易說明$\overrightarrow{CE}$為平面ABD的法向量，若設(shè)二面角A-BD-C的大小為θ，則根據(jù)cos$θ=-cos＜\overrightarrow{D{C}_{1}}，\overrightarrow{CE}＞$即可求得θ．

解答 解：根據(jù)已知條件，以C為原點，以棱CA，CB，CC₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則：
C（0，0，0），B（0，2，0），C₁（0，0，4），A（2，0，0）；
D在棱AA₁上，∴設(shè)D（2，0，z），0≤z≤4；
∴$\overrightarrow{D{C}_{1}}=（-2，0，4-z）$，$\overrightarrow{CD}=（2，0，z），\overrightarrow{CB}=（0，2，0）$；
DC₁⊥平面DBC；
∴$\overrightarrow{D{C}_{1}}⊥\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{D{C}_{1}}⊥\overrightarrow{CB}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{D{C}_{1}}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{D{C}_{1}}•\overrightarrow{CB}=0}\end{array}\right.$；
∴-4+（4-z）z=0；
解得z=2；
∴D（2，0，2）；
∴D為棱AA₁的中點；
即D為棱AA₁中點時，DC₁⊥平面DBC；
∴$\overrightarrow{D{C}_{1}}=（-2，0，2）$為平面DBC的法向量；
取AB中點E，連接CE，AC=BC；
∴CE⊥AB；
又AA₁⊥平面ABC，CE?平面ABC；
∴AA₁⊥CE，即CE⊥AA₁，AA₁∩AB=A；
∴CE⊥平面ABD；
∴$\overrightarrow{CE}=（1，1，0）$為平面ABD的一個法向量；
設(shè)二面角A-BD-C的平面角的大小為θ，則：
cosθ=$-cos＜\overrightarrow{D{C}_{1}}，\overrightarrow{CE}＞$=$-\frac{\overrightarrow{D{C}_{1}}•\overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{D{C}_{1}}||\overrightarrow{CE}|}=\frac{2}{\sqrt{8}•\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$；
∴θ=60°；
∴二面角A-BD-C的大小為60°．

點評 考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決線面垂直，及求二面角大小的問題，能求空間點的坐標(biāo)，以及線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，兩非零向量垂直的充要條件，平面法向量的概念及求法，平面法向量的夾角和二面角平面角大小的關(guān)系，兩向量夾角余弦的坐標(biāo)公式．