Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BAD=60°，AB=4，AD=2，側(cè)棱PB=$\sqrt{15}$，PD=$\sqrt{3}$．
（1）求證：BD⊥平面PAD；
（2）若PD與底面ABCD成60°的角，試求二面角P-BC-A所成的平面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理求出BD．推出△ABD是直角三角形，AD⊥BD，然后證明PD⊥BD．可證明BD⊥平面PAD．
（2）說明平面PAD⊥平面ABCD．作PE⊥AD于E，說明∠PDE是PD與底面BCD所成的角，作EF⊥BC于F，連PF，說明∠PFE是二面角P-BC-A的平面角．然后求解二面角P-BC-A所成的平面角的正切值．

解答 （本小題滿分12分）
解  （1）由已知AB=4，AD=2，∠BAD=60°，
得BD²=AD²+AB²-2AD•ABcos60°=4+16-2×2×4×$\frac{1}{2}$=12．
AB²=AD²+BD²，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，

即AD⊥BD
在△PDB中，PD=$\sqrt{3}$，PB=$\sqrt{15}$，BD=$\sqrt{12}$，
∴PB²=PD²+BD²，故得PD⊥BD．
又PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD．
（2）∵BD⊥平面PAD，BD?平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD．
作PE⊥AD于E，又PE平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，
∴∠PDE是PD與底面BCD所成的角，∴∠PDE=60°，
∴PE=PDsin60°=$\sqrt{3}$•$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{3}{2}$．
作EF⊥BC于F，連PF，則PF⊥BC，∴∠PFE是二面角P-BC-A的平面角．
又EF=BD=$\sqrt{12}$，∴在Rt△PEF中，
tan∠PFE=$\frac{PE}{EF}$=$\frac{{\frac{3}{2}}}{{2\sqrt{3}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．
故二面角P-BC-A所成的平面角的正切值為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．

點評 本題考查直線與平面垂直，平面與平面垂直，直線與平面市場價以及二面角，考查計算能力空間想象能力．