Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²+8lnx，若存在點A （t，f（t）），使得曲線y=f（x）在該點附近的左、右的兩部分分別位于曲線在該點處切線的兩側，則t=2．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)在切點A處的導數(shù)，再由直線方程的點斜式求得切線方程，構造函數(shù)h（x）=f（x）-[$（2t+\frac{8}{t}）x-{t}^{2}+8lnt-8$]，求得導函數(shù)，由題意可得，t不是函數(shù)h（x）的極值點，再由二次函數(shù)的性質求得t值．

解答 解：由f（x）=x²+8lnx，得${f^'}（x）=2x+\frac{8}{x}$，
則f′（t）=2t+$\frac{8}{t}$，又f（t）=t²+8lnt，
∴曲線y=f（x）在點A處的切線方程為$y-（{t^2}+8lnt）=（2t+\frac{8}{t}）（x-t）$，
即：$y=（2t+\frac{8}{t}）x-{t^2}+8lnt-8（x＞0）$，
記$h（x）={x^2}+8lnx-[（2t+\frac{8}{t}）x-{t^2}+8lnt-8]={x^2}+8lnx-（2t+\frac{8}{t}）x+{t^2}-8lnt+8（x＞0）$，
則${h^'}（x）=2x+\frac{8}{x}-（2t+\frac{8}{t}）=\frac{{2（x-t）（x-\frac{4}{t}）}}{x}$，
若存在點A （t，f（t）），使得曲線y=f（x）在該點附近的左、右兩部分都位于曲線在該點處切線的兩側，則問題等價于t不是極值點，
由二次函數(shù)的性質知，當且僅當$t=\frac{4}{t}$，即t=2時，t不是極值點，即h′（x）≥0，
∴h（x）在（0，+∞）上遞增．
又h（t）=0，∴當x∈（0，2）時，h（x）＜0；當x∈（2，+∞）時，h（x）＞0，
即存在唯一點A（2，4+8ln2），使得曲線在點A附近的左、右兩部分分別位于曲線在該點處切線的兩側．
故答案為：2．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查數(shù)學轉化思想方法，對題意的正確理解是解答該題的關鍵，是中檔題．