Question

12．設S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，a_n＞0，且S_n=$\frac{1}{6}$a_n（a_n+3），則數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=3n．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的前n項和通項公式之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答 解：當n=1時，${S_1}={a_1}=\frac{1}{6}{a_1}（{a_1}+3）$，解得a₁=3；
當n≥2時，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{1}{6}[{a_n}（{a_n}+3）-{a_{n-1}}（{a_{n-1}}+3）]$，
整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0．
因為a_n＞0，所以a_n-a_n-1-3=0，即a_n-a_n-1=3，
所以{a_n}是以3為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以a_n=3+3（n-1）=3n，即a_n=3n．
故答案為：a_n=3n．

點評 本題主要考查數(shù)列通項公式的求解，根據(jù)遞推關(guān)系判斷數(shù)列是等差數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．