已知拋物線C：y=
1
4
x2-
3
2
xcosθ+
9
4
cos2θ+2sinθ（θ∈R）
（I）當(dāng)θ變化時(shí)，求拋物線C的頂點(diǎn)的軌跡E的方程；
（II）已知直線l過(guò)圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M，交（I）中軌跡E于A、B兩點(diǎn)，若
AB
=2
AM
，求直線l的方程．
（I）將拋物線方程配方得y=
1
4
(x-3cosθ)2+2sinθ，
設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為p（x0，y0），則
x0=3cosθ
y0=2sinθ
，消去θ得
x20
9
+
y20
4
=1．
故拋物線C的頂點(diǎn)P的軌跡E的方程：
x2 
9
+
y2 
4
=1．…（5分）
（Ⅱ）由x2+y2+4x-2y=0得圓心M（-2，1），
∵
AB
=2
AM
∴M是AB的中點(diǎn)，易得直線l不垂直x 軸，
可設(shè)l的方程為y=k（x+2）+1，代入軌跡E的方程得：（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k-27=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-
36k2+18k
4+9k2
，
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴-
36k2+18k
4+9k2
=-4，解得k=
8
9
．
∴直線l的方程為y=
8
9
(x+2)+1，即8x-9y+25=0…（12分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：y=ax2，點(diǎn)P（1，-1）在拋物線C上，過(guò)點(diǎn)P作斜率為k1、k2的兩條直線，分別交拋物線C于異于點(diǎn)P的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且滿足k1+k2=0．
（I）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（II）若點(diǎn)M滿足
BM
=
MA
，求點(diǎn)M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：y=2x2上的點(diǎn)A（-1，2），直線l1過(guò)點(diǎn)A且與拋物線相切．直線l2：x=a（a＞-1）交拋物線于點(diǎn)B，交直線l1于點(diǎn)D，記△ABD的面積為S1，拋物線和直線l1，l2所圍成的圖形面積為S2，則S1：S2=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：y=（x+1）2與圓M：(x-1)2+(y-
12
)2=r2（r＞0）有一個(gè)公共點(diǎn)A，且在A處兩曲線的切線為同一直線l．
（Ⅰ）求r；
（Ⅱ）設(shè)m，n是異于l且與C及M都相切的兩條直線，m，n的交點(diǎn)為D，求D到l的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：y=2x2，直線y=kx+2交C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)M作軸的垂線交C于點(diǎn)N．  
（1）求三角形OAB面積的最小值；
（2）證明：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行；
（3）是否存在實(shí)數(shù)k使NANB，若存在，求k的值；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2010•武漢模擬）已知拋物線C：y=
1
2
x2與直線l：y=kx-1沒有公共點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作拋物線C的兩條切線，A，B為切點(diǎn)．
（1）證明：直線AB恒過(guò)定點(diǎn)Q；
（2）若點(diǎn)P與（1）中的定點(diǎn)Q的連線交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，證明：
|PM|
|PN|
=
|QM|
|QN|
．

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