Question

12．已知$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（cosx-$\sqrt{3}$sinx，2cos（x-$\frac{π}{6}$）），函數f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數量積公式，結合二倍角公式，化簡函數，再求f（x）的最小正周期；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，即可求f（x）的值域．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（cosx-$\sqrt{3}$sinx，2cos（x-$\frac{π}{6}$）），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=sinx（cosx-$\sqrt{3}$sinx）+cosx•2cos（x-$\frac{π}{6}$）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]，
∴f（x）的值域為[-$\sqrt{3}$，2]．

點評 此題考查了二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式是解本題的關鍵．