Question

7．已知正三棱錐V-ABC中，底面邊長為8，側棱長為2$\sqrt{6}$，計算它的高和斜高．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫出圖形，結合圖形，找出三棱錐的高與斜高，利用三角形的邊角關系求出它們的值．

解答 解：正三棱錐V-ABC中，底面邊長AB=8，側棱長VB=2$\sqrt{6}$，
設O是正△ABC的中心，則VO為棱錐的高，
連接AO并延長，交BC于點D，連接VD，則VD是棱錐的斜高，
如圖所示；
AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$VB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×8=4$\sqrt{3}$，
AO=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{2}{3}$×4$\sqrt{3}$=$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$；
∴棱錐的高為
VO=$\sqrt{{VA}^{2}{-AO}^{2}}$=$\sqrt{{（2\sqrt{6}）}^{2}{-（\frac{8}{3}\sqrt{3}）}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
棱錐的斜高為
VD=$\sqrt{{VB}^{2}-{BD}^{2}}$=$\sqrt{{（2\sqrt{6}）}^{2}{-4}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了棱錐的結構特征以及線面間的距離與位置關系的應用問題，是基礎題目．