Question

12．已知函數(shù)f（x）滿足f（log_ax）=（a-1）（x-$\frac{1}{x}$）（其中a＞0，a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）若對(duì)一切t∈R不等式f（mt²+8）+f（m-6mt）＞0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令log_ax=t，從而得到x=a^t，帶入原函數(shù)解析式即可得出f（x）=（a-1）（a^x-a^-x）；
（2）容易得出f（-x）=-f（x），從而函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（3）根據(jù)指數(shù)函數(shù)和單調(diào)性定義能夠判斷f（x）在R上為增函數(shù)，從而由該不等式可得到f（mt²+8）＞f（6mt-m），從而可得到mt²-6mt+m+8＞0恒成立，可考慮m是否為0：m=0時(shí)，顯然滿足條件，m≠0時(shí)，m需滿足$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，這樣解出m的范圍，合并m=0的情況即可得出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）令log_ax=t，則x=a^t；
∴f（t）=（a-1）（a^t-a^-t）；
∴f（x）=（a-1）（a^x-a^-x）；
（2）f（x）的定義域?yàn)镽；
f（-x）=（a-1）（a^-x-a^x）=-f（x）；
∴f（x）為奇函數(shù)；
（3）a^x和-a^-x的單調(diào)性一致；
①0＜a＜1時(shí)，a^x-a^-x是減函數(shù)，a-1＜0；
∴f（x）是增函數(shù)；
②a＞1時(shí)，a^x-a^-x是增函數(shù)，a-1＞0；
∴f（x）是增函數(shù)；
即對(duì)任意的a＞0，a≠1，f（x）都是增函數(shù)；
f（x）又是奇函數(shù)；
∴由原不等式得：f（mt²+8）＞f（6mt-m）；
∴mt²+8＞6mt-m恒成立；
即mt²-6mt+m+8＞0恒成立；
①m=0時(shí)，8＞0恒成立；
②m≠0時(shí)，則$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=36{m}^{2}-4m（m+8）＜0}\end{array}\right.$；
解得0＜m＜1；
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為[0，1）．

點(diǎn)評(píng) 考查換元法求函數(shù)解析式，奇函數(shù)的定義及判斷過(guò)程，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及增函數(shù)的定義，根據(jù)增函數(shù)的定義解不等式，一元二次不等式ax²+bx+c＞0的解集為R時(shí)，需滿足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，不要漏了m=0的情況．