Question

3．橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$上有動P（m，n），則m+2n的取值范圍為[-6$\sqrt{2}$，6$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 求得橢圓的a，b，設出P（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），則m+2n=6cosα+6sinα=6$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα），由兩角和的正弦公式以及正弦函數(shù)的值域，計算即可得到所求范圍．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$的a=6，b=3，
P在橢圓上，可設P（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），
則m+2n=6cosα+6sinα=6$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα）
=6$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
由0≤α＜2π，可得$\frac{π}{4}$≤α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{9π}{4}$，
即有sin（α+$\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，
則m+2n的范圍是[-6$\sqrt{2}$，6$\sqrt{2}$]．
故答案為：[-6$\sqrt{2}$，6$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查橢圓的參數(shù)方程的運用，考查正弦函數(shù)的值域的運用，屬于基礎題．