Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn)，PA=PD=AD=2．
（1）求證：AD⊥平面PQB；
（2）若PM=

1

3

PC，平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)BD，由已知得△ABD是正三角形，AD⊥BQ，由等腰三角形性質(zhì)得AD⊥PQ，由此能證明AD⊥平面PQB．
（2）以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA，QB，QP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Q-xyz，求出平面MQB的法向量和平面ABCD的法向量，由此利用向量法能求出二面角M-BQ-C的大小．

解答： （1）證明：連結(jié)BD，∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD是正三角形，又Q為AD中點(diǎn)，∴AD⊥BQ，
∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，
∴AD⊥PQ，又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB．
（2）解：∵PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，
以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA，QB，QP所在直線為x，y，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Q-xyz，
由PA=PD=AD=2，則B（0，

3

，0），C（-2，

3

，0），
P（0，0，

3

），設(shè)M（a，b，c），
則

PM

=（a，b，c-

3

），

PC

=（-2，

3

，-

3

），
∵PM=

1

3

PC，∴

PM

=

1

3

PC

，
∴a=-

2

3

，b=

3

3

，c=

2 3

3

，∴M（-

2

3

，

3

3

，

2 3

3

），
設(shè)平面MQB的法向量

n

=（x，y，z），
由

QM

=（-

2

3

，

3

3

，

2 3

3

），

QB

=（0，

3

，0），
且

n

⊥

QM

，

n

⊥

QB

，得

- 2 3 x+ 2 3 3 z=0 3 y=0

，
取z=1，得

n

=（

3

，0，1），
又平面ABCD的法向量

m

=（0，0，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

2

，
由圖知二面角M-BQ-C的平面角為銳角，
∴二面角M-BQ-C的大小為60°．

點(diǎn)評：本題考查線面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用，是中檔題．