Question

17．已知a是實常數，函數f（x）=xlnx+ax²．
（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線過點A（0，-2），求實數a的值；
（2）若f（x）有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂），
①求證：-$\frac{1}{2}$＜a＜0；
②求證：f（x₂）＞f（x₁）＞-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線方程，代入點（0，-2），即可解得a；
（2）①依題意：f′（x）=0 有兩個不等實根x₁，x₂（x₁＜x₂），設g（x）=lnx+2ax+1，求出導數，討論當a≥0時，當a＜0時，求得函數g（x）的單調性，令極大值大于0，解不等式即可得證；
②由①知：f（x），f′（x） 變化，求得f（x）的增區(qū)間，通過導數，判斷x₁∈（0，1），設h（x）=$\frac{1}{2}$（xlnx-x）（0＜x＜1），求得h（x）的單調性，即可得證．

解答 （1）解：由已知可得，f′（x）=lnx+1+2ax（x＞0），切點P（1，a），
f（x）在x=1處的切線斜率為k=1+2a，
切線方程：y-a=（2a+1）（x-1），
把（0，-2）代入得：a=1；                 
（2）證明：①依題意：f′（x）=0 有兩個不等實根x₁，x₂（x₁＜x₂），
設g（x）=lnx+2ax+1   則：g′（x）=$\frac{1}{x}$+2a（x＞0）
當a≥0時，有g′（x）＞0，所以g（x）是增函數，不符合題意； 
當a＜0時：由g′（x）=0得：x=-$\frac{1}{2a}$＞0，
列表如下：

x	（0，-$\frac{1}{2a}$）	-$\frac{1}{2a}$	（-$\frac{1}{2a}$，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗	極大值	↘

依題意：g（-$\frac{1}{2a}$）=ln（-$\frac{1}{2a}$）＞0，解得：-$\frac{1}{2}$＜a＜0，
綜上可得，-$\frac{1}{2}$＜a＜0得證；                                  
②由①知：f（x），f′（x） 變化如下：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘		↗		↘

由表可知：f（x） 在[x₁，x₂]上為增函數，所以：f（x₂）＞f（x₁）              
又f′（1）=g（1）=1+2a＞0，故x₁∈（0，1），
由（1）知：ax₁=$\frac{-1-ln{x}_{1}}{2}$，f（x₁）=x₁lnx₁+ax₁²=$\frac{1}{2}$（x₁lnx₁-x₁）（0＜x₁＜1）
設h（x）=$\frac{1}{2}$（xlnx-x）（0＜x＜1），則h′（x）=$\frac{1}{2}$lnx＜0成立，所以h（x）單調遞減，
故：h（x）＞h（1）=-$\frac{1}{2}$，也就是f（x₁）＞-$\frac{1}{2}$
綜上所證：f（x₂）＞f（x₁）＞-$\frac{1}{2}$成立．

點評 本題考查導數的運用：求切線方程和單調區(qū)間、極值，主要考查導數的幾何意義和分類討論的思想方法，注意函數的單調性的運用，屬于中檔題．