Question

9．已知拋物線x²=2py（p＞0）的焦點F與橢圓$\frac{y^2}{4}$+$\frac{x^2}{3}$=1的一個焦點重合．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）直線y=kx+1交拋物線于A，B兩點，過A，B分別作拋物線的切線交于點P．
（�。┨骄�$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{AB}$是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由；
（ⅱ）若直線PF與拋物線交于C，D，求證：|PC|•|FD|=|PD|•|FC|．

Answer 1

分析 （ I）由于拋物線x²=2py（p＞0）的焦點為$F（0，\frac{p}{2}）$．橢圓$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1$的焦點為（0，±1），即可得出．
（ II）（ⅰ）直線與拋物線方程聯(lián)立可得x²-4kx-4=0，△＞0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得根與系數(shù)的關系．由x²=4y，得$y=\frac{x^2}{4}，y'=\frac{x}{2}$，可得：過A的切線PA的方程為：$y=\frac{1}{2}{x_1}x-\frac{1}{4}{x_1}^2$，切線PB的方程為：$y=\frac{1}{2}{x_2}x-\frac{1}{4}{x_2}^2$，可得P（2k，-1）．當k=0時，P（0，-1），F(xiàn)（0，1），有PF⊥AB．當k≠0時，也有PF⊥AB．
（ⅱ）由（�。┛稍O直線PF的方程為：$y=-\frac{1}{k}x+1（k≠0）$．與拋物線方程聯(lián)立可得${x^2}+\frac{4}{k}x-4=0$，設$C（{x_3}，\frac{{{x_3}^2}}{4}）\;，\;D（{x_4}，\frac{{{x_4}^2}}{4}）$，利用根與系數(shù)的關系可得：$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{FD}-\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{CF}$=0，即可證明．

解答 （ I）解：∵拋物線x²=2py（p＞0）的焦點為$F（0，\frac{p}{2}）$．
橢圓$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1$的焦點為（0，±1），
∴$\frac{p}{2}=1，\;\;p=2$，
∴拋物線的方程為x²=4y．
（ II）（�。┙猓郝�(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.$，得x²-4kx-4=0，△=16k²+16＞0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4，
由x²=4y，得$y=\frac{x^2}{4}，y'=\frac{x}{2}$，
∴過A的切線PA的方程為：$y-{y_1}=\frac{1}{2}{x_1}（x-{x_1}）$，
整理得：$y=\frac{1}{2}{x_1}x-\frac{1}{4}{x_1}^2$…①
同理切線PB的方程為：$y=\frac{1}{2}{x_2}x-\frac{1}{4}{x_2}^2$…②
聯(lián)立①②解得${x_P}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=2k\;，\;{y_P}=-1$，即P（2k，-1）．
當k=0時，P（0，-1），F(xiàn)（0，1），有PF⊥AB．
當k≠0時，${k_{PF}}=\frac{1-（-1）}{0-2k}=-\frac{1}{k}$，有PF⊥AB．
∴$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{AB}=0$為定值．
（ⅱ）證明：由（�。┛稍O直線PF的方程為：$y=-\frac{1}{k}x+1（k≠0）$．
由$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{k}x+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.$，得${x^2}+\frac{4}{k}x-4=0$，
設$C（{x_3}，\frac{{{x_3}^2}}{4}）\;，\;D（{x_4}，\frac{{{x_4}^2}}{4}）$
則${x_3}+{x_4}=-\frac{4}{k}，{x_3}•{x_4}=-4$，
∵P（2k，-1），F(xiàn)（0，1）．
∴$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{FD}-\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{CF}$=$（{x_3}-2k，\frac{1}{4}{x_3}^2+1）•（{x_4}，\frac{1}{4}{x_4}^2-1）-（{x_4}-2k，\frac{1}{4}{x_4}^2+1）•（-{x_3}，1-\frac{1}{4}{x_3}^2）$
=$（{x_3}-2k）•{x_4}+（\frac{1}{4}{x_3}^2+1）•（\frac{1}{4}{x_4}^2-1）+（{x_4}-2k）{x_3}+（\frac{1}{4}{x_4}^2+1）•（\frac{1}{4}{x_3}^2-1）$
=$2{x_3}{x_4}-2k（{x_3}+{x_4}）+\frac{1}{8}{x_3}^2{x_4}^2-2$=$-8-2k（-\frac{4}{k}）+\frac{1}{8}•{（-4）^2}-2$=0
∴$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{CF}$，
又P，C，F(xiàn)，D共線，
∴|PC|•|FD|=|PD|•|CF|．

點評 本題主要考查直線與拋物線、橢圓等基礎知識及直線與拋物線的位置關系、向量垂直與數(shù)量積的關系；考查運算求解、抽象概括能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想，查了推理能力與計算能力，屬于難題．