Question

5．已知函數(shù)f（x）=cos2x+asinx在區(qū)間（0，nπ）內(nèi)恰有8個零點，則實數(shù)a的取值范圍與最小正整數(shù)n的值分別為（　�。�

• A． （-1，1），2
• B． （-1，1），4
• C． [-1，1]，2
• D． [-1，1]，4

Answer 1

分析 換元法令sinx=t，則g（t）=-2t²+at+1，從而可得-2-a+1＜0且-2+a+1＜0，從而解得-1＜a＜1；再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答 解：f（x）=cos2x+asinx=-2sin²x+asinx+1，
令sinx=t，則g（t）=-2t²+at+1，
∵g（t）的圖象開口向下，且g（0）=1，
∴若使正整數(shù)n最小，則g（t）=0的兩個解都在（-1，1）上，
則g（-1）＜0且或g（1）＜0，
則-2-a+1＜0且-2+a+1＜0，
故-1＜a＜1；
而當(dāng)sinx=t，t∈（-1，1）時，方程在一個周期內(nèi)有兩個解；
∵函數(shù)f（x）=cos2x+asinx在區(qū)間（0，nπ）內(nèi)恰有8個零點，
∴y=sinx要有兩個周期，
∴n的最小值為4，
故選B．

點評 本題考查了換元法的應(yīng)用及復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用，同時考查了三角函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用．