Question

3．已知雙曲線E的左，右頂點為A，B，點C在E上，AB=BC，且∠BCA=30°，則E的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），由題意知，AB=2a，運用等腰三角形的定義可得∠CBA=120°，運用三角函數的定義可設C（2a，$\sqrt{3}$a），代入雙曲線的方程，可得a=b，由a，b，c的關系和離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
由題意知，AB=2a，
又△ABC中，BC=AB=2a，∠BCA=30°，
可得∠CBA=120°，
由題意可設C（2a，$\sqrt{3}$a），
代入雙曲線的方程可得$\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{a}^{2}}{^{2}}$=1，
即有a=b，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用等腰三角形的定義和三角函數的定義，運用點滿足雙曲線的方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．