Question

12．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)是F（-c，0），斜率為2的直線l過(guò)點(diǎn)P并與兩條漸近線交于A，B兩點(diǎn)（A，B位于x軸同側(cè)），且S_△BOF=4S_△AOF，則雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{109}}{3}$
• B． $\frac{10}{3}$
• C． 3
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)直線l的方程為y=2（x+c），求得漸近線方程，求得交點(diǎn)A，B，再由同高不同底的三角形的面積之比為底邊之比，
可得BF=4AF，即有$\overrightarrow{BF}$=4$\overrightarrow{AF}$，運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示，結(jié)合離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)直線l的方程為y=2（x+c），
聯(lián)立雙曲線的漸近線方程y=±$\frac{a}$x，
解得A（$\frac{2ac}{-b-2a}$，$\frac{-2bc}{-b-2a}$），B（$\frac{2ac}{b-2a}$，$\frac{2bc}{b-2a}$），
由S_△BOF=4S_△AOF，
結(jié)合同高不同底的三角形的面積之比為底邊之比，
可得BF=4AF，即有$\overrightarrow{BF}$=4$\overrightarrow{AF}$，
可得-c-$\frac{2ac}{b-2a}$=4（-c-$\frac{2ac}{-b-2a}$），
化簡(jiǎn)可得3b=10a，可得b=$\frac{10}{3}$a，
即有c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{100}{9}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{109}}{3}$a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{109}}{3}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，主要考查漸近線方程的運(yùn)用，同時(shí)考查三角形的面積之比為底邊之比和向量共線的坐標(biāo)表示，屬于中檔題．