Question

P為橢圓

x2

25

+

y2

16

=1上一點，左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂．
（1）若PF₁的中點為M，求證|MO|=5-

1

2

|PF1|；
（2）若∠F₁PF₂=60°，求|PF₁|•|PF₂|之值；
（3）求|PF₁|•|PF₂|的最值．

Answer 1

分析：（1）在△F₁PF₂中，MO為中位線，根據(jù)三角形的中位線定理再結合橢圓的定義即可得出答案．
（2）先利用橢圓的定義得|PF₁|+|PF₂|=10，在△PF₁F₂中利用余弦定理得cos 60°=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

，兩者結合即可求得|PF₁|•|PF₂|．
（3）由點P（x，y）處的焦半徑公式|PF₁|=5+

3

5

x，|PF₂|=5-

3

5

x，知|PF₁|•|PF₂|=25-

9

25

x2，再由|x|≤5，能求出|PF₁|•|PF₂|的最值．

解答：（1）證明：在△F₁PF₂中，
∵MO為中位線，
∴|MO|=

|PF2|

2

=

2a-|PF1|

2

=a-

|PF1|

2

=5-

1

2

|PF₁|…．（3分）
（2）解：∵|PF₁|+|PF₂|=10，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=100-2|PF₁|•|PF₂|，
在△PF₁F₂中，cos 60°=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

，
∴|PF₁|•|PF₂|=100-2|PF₁|•|PF₂|-36，
∴|PF₁|•|PF₂|=

64

3

．…（8分）
（3）解：由點P（x，y）處的焦半徑公式|PF₁|=5+

3

5

x，|PF₂|=5-

3

5

x，
∴|PF₁|•|PF₂|=25-

9

25

x2，
∵|x|≤5，∴0≤x²≤25，
∴16≤|PF₁|•|PF₂|≤25．
∴|PF₁|•|PF₂|的最小值為16，|PF₁|•|PF₂|的最大值為25．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合運用，具體涉及到橢圓的簡單性質、余弦定理、焦半徑等基本知識點，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．