Question

7．如圖，四棱錐A-BCDE中，AB、BC、BE兩兩垂直且AB=BC=BE，DE∥BC，DE=2BC，F(xiàn)是AE的中點．
（1）求證：BF∥面ACD；
（2）求證：面ADE⊥面ACD．

Answer 1

分析 （1）取AD的中點M，連接CM、MF，推導(dǎo)出四邊形BCMF為平行四邊形，從而CM∥BF，由此能證明BF∥面ACD．
（2）作DE中點N，連接CN，推導(dǎo)出CM⊥AD，BF⊥AE，CM⊥AE，由此能證明面ADE⊥面ACD．

解答 證明：（1）取AD的中點M，連接CM、MF．
∵F、M分別為AE、AD中點，∴DE$\underset{∥}{=}$2MF，
又∵DE$\underset{∥}{=}$2BC，∴FM$\underset{∥}{=}$BC，
∴四邊形BCMF為平行四邊形，∴CM∥BF，
又∵BF?面ACD，CM?面ACD，
∴BF∥面ACD．…（6分）
（2）作DE中點N，連接CN，
∵DE$\underset{∥}{=}$2BC，N為DE中點N，∴DN=BC，
又∵AB、BC、BE兩兩垂直，且AB=BC=BE，∴AC=CD，
∵M(jìn)為AD中點，∴CM⊥AD，
又∵F是AE的中點，且AB=BE，∴BF⊥AE，
∵CM∥BF，∴CM⊥AE，
又∵AD∩AE=A，AE、AD?面ADE，∴CM⊥面ADE，
∵CM?面ACD，∴面ADE⊥面ACD．…（14分）

點評 本題考查線面平行、面面垂直的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．