Question

已知奇函數(shù) f (x) 在 (－?,0)∪(0,+?) 上有意義，且在 (0,+?) 上是增函數(shù)，f (1) = 0，又函數(shù) g(?) = sin 2? + m cos ?－2m，若集合M = {m | g(?) < 0}，集合 N = {m | f [g(?)] < 0}，求M∩N.

 

Answer 1

.

【解析】

試題分析：根據(jù)條件中是奇函數(shù)的這一條件可以求得使的的范圍，再根據(jù)與的表達(dá)式，可以得到與的交集即是使恒成立的所有的全體，通過參變分離可以將問題轉(zhuǎn)化為求使恒成立的的取值范圍，通過求函數(shù)最大值，進(jìn)而可以求出的范圍.

依題意，，又在上是增函數(shù)，

∴在 上也是增函數(shù)， 1分

∴ 由得或 2分

∴ 或 3分

4分

由得 5分

即 6分

∴ 7分

設(shè)， 9分

∵， 10分

∴， 11分

且 12分

∴的最大值為 13分

∴ 14分

另【解析】
本題也可用下面解法：

1. 用單調(diào)性定義證明單調(diào)性

∵對任意 ，，，

∴，

即在上為減函數(shù)，

同理在上為增函數(shù)，得 5分

∴.

2. 二次函數(shù)最值討論

【解析】
依題意，，又在上是增函數(shù)，

∴在 上也是增函數(shù)，

∴由得或

∴或，

4分

由得恒成立，

5分

設(shè)， 6分

∵，的對稱軸為 7分

1? 當(dāng)，即 時(shí)，在為減函數(shù)，∴ 9分

2? 當(dāng)，即 時(shí)，

∴ 11分

3? 當(dāng)，即時(shí)，在為增函數(shù)，

∴無解 13分

綜上， 14分

3. 二次方程根的分布

【解析】
依題意，，又在上是增函數(shù)，

∴在 上也是增函數(shù)，

∴ 由得或

∴ 或，，

由得恒成立，

，

設(shè)，

∵，的對稱軸為，， 7分

1? 當(dāng)，即時(shí)，恒成立。 9分

2? 當(dāng)，即或時(shí)，

由在上恒成立

∴ 13分

綜上， 14分

4.用均值不等式（下學(xué)段不等式內(nèi)容）

∵，∴，

且，即時(shí)等號(hào)成立。

∴的最大值為.

∴. 5分

考點(diǎn)：1、恒成立問題的處理方法；2、函數(shù)最值的求法.