Question

13．已知四邊形ABCD為正方形，P為面ABCD外一點，且PA=PB=PC=PD=2，AB=$\sqrt{2}$，M是側(cè)棱PC的中點，則異面直線PA與BM所成的角的大小為45°．

Answer 1

分析 連結(jié)AC，BD交于點O，連結(jié)OP，以O(shè)為原點，OA、OB、OC分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線PA與BM所成的角的大�。�

解答 解：連結(jié)AC，BD交于點O，連結(jié)OP，
∵四邊形ABCD為正方形，P為面ABCD外一點，且PA=PB=PC=PD=2，AB=$\sqrt{2}$，M是側(cè)棱PC的中點，
∴AC⊥BD，OP⊥AC，∴OP⊥AC，同理OP⊥BD，
以O(shè)為原點，OA、OB、OC分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，$\sqrt{3}$），A（1，0，0），B（0，1，0），C（-1，0，0），
∴M（-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{AP}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BM}$=（-$\frac{1}{2}$，-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴cos＜$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BM}$＞=$\frac{\frac{1}{2}+0+\frac{3}{2}}{\sqrt{1+0+3}•\sqrt{\frac{1}{4}+1+\frac{3}{4}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴異面直線PA與BM所成的角的大小為45°．
故答案為：45°．

點評 本題考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．