Question

【題目】已知為公差不為零的等差數(shù)列，首項， 的部分項、、 、恰為等比數(shù)列，且，，.

（1）求數(shù)列的通項公式（用表示）；

（2）設數(shù)列的前項和為, 求證： （是正整數(shù)

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：

（1）由題得a1,a5,a17是成等比數(shù)列的，所以，則可以利用公差d和首項a來表示，進而得到d的值，得到an的通項公式.

（2）利用第一問可以求的等比數(shù)列、、 、中的前三項，得到該等比數(shù)列的通項公式，進而得到的通項公式，再利用分組求和法可得到Sn的表達式，可以發(fā)現(xiàn)為不可求和數(shù)列，所以需要把放縮成為可求和數(shù)列，考慮利用的二項式定理放縮證明，即，故求和即可證明原不等式.

試題解析：

（1）設數(shù)列的公差為，

由已知得， ， 成等比數(shù)列，

∴ ，且2分

得或

∵ 已知為公差不為零

∴， 3分

∴ . 4分

（2）由（1）知∴5分

而等比數(shù)列的公比.

∴6分

因此 ，

∵

∴7分

∴ 9分

∵當時，

∴（或用數(shù)學歸納法證明此不等式）

∴ 11分

∴當時， ，不等式成立；

當時，

綜上得不等式 成立. 14分

法二∵當時，

∴（或用數(shù)學歸納法證明此不等式）

∴ 11分

∴當時， ，不等式成立；

當時， ，不等式成立；

當時，

綜上得不等式 成立. 14分

(法三) 利用二項式定理或數(shù)學歸納法可得：

所以， 時， ，

時， 綜上得不等式 成立.