Question

7．設S為非空數(shù)集，且滿足：①2∉s；②若a∈S，則$\frac{1}{2-a}$∈S．證明：
（1）對一切n∈N^*，n≥3，有$\frac{n}{n-1}$∉S；
（2）S或者是單元素集，或者是無限集．

Answer 1

分析 （1）可考慮用反證法證明，假設存在一個$\frac{n}{n-1}∈S$，這樣根據(jù)條件②即可得到$\frac{n-1}{n-2}∈S$，以此類推出$\frac{2}{1}∈S$，這便和已知的2∉S矛盾，這便說明假設錯誤，從而得出結論；
（2）首先會發(fā)現(xiàn)S={1}為符合條件的單元素集，若S為有限集，從而有非1的元素a，根據(jù)②便得到$\frac{1}{2-a}，\frac{2-a}{3-a}，\frac{3-2a}{4-3a}$都屬于S，根據(jù)數(shù)學歸納法即可得到$\frac{（i+1）-ia}{（i+2）-（i+1）a}∈S$，并且利用反證法即可說明$\frac{（i+1）-ia}{（i+2）-（i+1）a}$，i∈N，兩兩不等，這便說明S有無限個元素，最后即得出要證的結論．

解答 證明：（1）若有一個$\frac{n}{n-1}∈S$，則：
由②得，$\frac{1}{2-\frac{n}{n-1}}=\frac{n-1}{n-2}∈S$；
從而遞推出$\frac{n-2}{n-3}∈S，…，\frac{2}{1}∈S$，與2∉S矛盾；
∴對一切n∈N^*，n≥3，有$\frac{n}{n-1}∉S$；
（2）顯然S={1}為符合條件的單元素集，若S為有限集，則有非1元素a，所以：
$\frac{1}{2-a}∈S$，∴由②可繼續(xù)導出：$\frac{2-a}{3-a}，\frac{3-2a}{4-3a}$都屬于S；
∴由數(shù)學歸納法即可得出$\frac{（i+1）-ia}{（i+2）-（i+1）a}∈S$，i∈N；
利用a≠1，反證易知$\frac{（i+1）-ia}{（i+2）-（i+1）a}$兩兩不等；
∴此時S有無窮元素；
∴S或者是單元素集，或者是無限集．

點評 考查元素與集合的概念及關系，反證法在證明題中的運用，掌握反證法的過程，掌握遞推的思想，以及數(shù)學歸納法的定義與步驟．