Question

18．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+m（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最大值為4，最小值為0，兩個(gè)對(duì)稱軸間的最短距離為π，點(diǎn)（-$\frac{π}{3}$，1）在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）先將函數(shù)y=f（x）的圖象向下平移2個(gè)單位，再將所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{1}{2}$倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在（-π，π）上的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)最值求出A，m，其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離，求出周期，確定ω，過點(diǎn)（-$\frac{π}{3}$，1）求φ；
（2）首先，確定函數(shù)y=g（x）解析式，然后，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性求解其單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+m（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最大值為4，最小值為0，
∴A=m=2，
T=2π=$\frac{2π}{ω}$，
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（x+φ）+2，
∵點(diǎn)（-$\frac{π}{3}$，1）在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
∴f（-$\frac{π}{3}$）=2sin（-$\frac{π}{3}$+φ）+2=1，
∴sin（φ-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{3}$＜φ-$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{6}$，
∴φ-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+2，
（2）根據(jù)（1），將函數(shù)y=f（x）的圖象向下平移2個(gè)單位，
得到y(tǒng)=2sin（x+$\frac{π}{6}$），
將所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{1}{2}$倍（縱坐標(biāo)不變）
得到函數(shù)y=g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
∴-$\frac{2π}{3}$+2kπ≤2x≤$\frac{π}{3}$+2kπ，
∴-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，
∴函數(shù)的遞增區(qū)間為：[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，
∴在（-π，π）的遞增區(qū)間為：[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]和[$\frac{2π}{3}$，π）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值，三角函數(shù)的周期性及其求法，y=Asin（ωx+φ）+m中參數(shù)的物理意義，通過題目條件，正確求出函數(shù)的表達(dá)式，挖掘條件，利用周期正確解答是解好三角函數(shù)題目的關(guān)鍵，本題考查計(jì)算能力，是中檔題．