【題目】已知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列.數(shù)列前項(xiàng)和為,且滿足
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列前項(xiàng)和;
(3)在數(shù)列中,是否存在連續(xù)的三項(xiàng),按原來(lái)的順序成等差數(shù)列?若存在,求出所有滿足條件的正整數(shù)的值;若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2);(3)在數(shù)列中,僅存在連續(xù)的三項(xiàng),按原來(lái)的順序成等差數(shù)列,此時(shí)正整數(shù)的值為1.
【解析】
試題(1)顯然要分奇偶求解,用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解;(2)同(1)要按奇偶分別求和,即求的也就是分奇偶后的前n項(xiàng)和;(3)先假設(shè)存在這樣的連續(xù)三項(xiàng)按原來(lái)的順序成等差數(shù)列,即假設(shè) ,則,然后代入通項(xiàng)公式得,顯然不成立;再假設(shè),則,然后代入通項(xiàng)公式得,解此方程要構(gòu)造新的方程,即令, ,故,只有 ,則僅存在連續(xù)的三項(xiàng)合題意.
試題解析:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為,
則,
,
又,,解得,
∴對(duì)于,有,
故.
(2).
(3)在數(shù)列中,僅存在連續(xù)的三項(xiàng),按原來(lái)的順序成等差數(shù)列,此時(shí)正整數(shù)的值為1,下面說(shuō)明理由.
若,則由,得,
化簡(jiǎn)得,此式左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),不可能成立.
若,則由,得,
化簡(jiǎn)得.
令,則.
因此,,故只有,此時(shí).
綜上,在數(shù)列中,僅存在連續(xù)的三項(xiàng),按原來(lái)的順序成等差數(shù)列,此時(shí)正整數(shù)的值為1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列各對(duì)事件中,不是相互獨(dú)立事件的有( )
A.運(yùn)動(dòng)員甲射擊一次,“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”
B.甲乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次,“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”
C.甲乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次,“甲乙都射中目標(biāo)”與“甲乙都沒(méi)有射中目標(biāo)”
D.甲乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次,“至少有1人射中目標(biāo)”與“甲射中目標(biāo)但乙未射中目標(biāo)”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)也已經(jīng)逐漸融入了人們的日常生活,網(wǎng)購(gòu)作為一種新的消費(fèi)方式,因其具有快捷、商品種類齊全、性價(jià)比高等優(yōu)勢(shì)而深受廣大消費(fèi)者認(rèn)可.某網(wǎng)購(gòu)公司統(tǒng)計(jì)了近五年在本公司網(wǎng)購(gòu)的人數(shù),得到如下的相關(guān)數(shù)據(jù)(其中“x=1”表示2015年,“x=2”表示2016年,依次類推;y表示人數(shù)):
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y(萬(wàn)人) | 20 | 50 | 100 | 150 | 180 |
(1)試根據(jù)表中的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)到哪一年該公司的網(wǎng)購(gòu)人數(shù)能超過(guò)300萬(wàn)人;
(2)該公司為了吸引網(wǎng)購(gòu)者,特別推出“玩網(wǎng)絡(luò)游戲,送免費(fèi)購(gòu)物券”活動(dòng),網(wǎng)購(gòu)者可根據(jù)拋擲骰子的結(jié)果,操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn). 若遙控車最終停在“勝利大本營(yíng)”,則網(wǎng)購(gòu)者可獲得免費(fèi)購(gòu)物券500元;若遙控車最終停在“失敗大本營(yíng)”,則網(wǎng)購(gòu)者可獲得免費(fèi)購(gòu)物券200元. 已知骰子出現(xiàn)奇數(shù)與偶數(shù)的概率都是,方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車開(kāi)始在第0格,網(wǎng)購(gòu)者每拋擲一次骰子,遙控車向前移動(dòng)一次.若擲出奇數(shù),遙控車向前移動(dòng)一格(從到)若擲出偶數(shù)遙控車向前移動(dòng)兩格(從到),直到遙控車移到第19格勝利大本營(yíng))或第20格(失敗大本營(yíng))時(shí),游戲結(jié)束。設(shè)遙控車移到第格的概率為,試證明是等比數(shù)列,并求網(wǎng)購(gòu)者參與游戲一次獲得免費(fèi)購(gòu)物券金額的期望值.
附:在線性回歸方程中,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如下面左圖,在直角梯形中,,,,,,點(diǎn)在上,且,將沿折起,得到四棱錐(如下面右圖).
(1)求四棱錐的體積的最大值;
(2)在線段上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C:()的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)P在橢圓上,,橢圓的離心率.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)A,B是橢圓C上與點(diǎn)P不重合的任意兩點(diǎn),若的重心是坐標(biāo)原點(diǎn)O,試證明:的面積為定值,并求出該定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,數(shù)列的通項(xiàng)公式為.設(shè),若數(shù)列的最大項(xiàng)為,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“六藝”源于中國(guó)周朝的貴族教育體系,具體包括“禮、樂(lè)、射、御、書、數(shù)”.某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動(dòng)中開(kāi)展了“六藝”知識(shí)講座,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),則滿足“禮”與“樂(lè)”必須排在前兩節(jié),“射”和“御”兩講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】半正多面體(semiregular solid)亦稱“阿基米德多面體”,如圖所示,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐,如此共可截去八個(gè)三棱錐,得到一個(gè)有十四個(gè)面的半正多面體,它們的邊長(zhǎng)都相等,其中八個(gè)為正三角形,六個(gè)為正方形,稱這樣的半正多面體為二十四等邊體.若二十四等邊體的棱長(zhǎng)為,則該二十四等邊體外接球的表面積為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示的三角形解釋二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)規(guī)律,現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下,從左到右依次排列,得數(shù)列:1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,…,記作數(shù)列,若數(shù)列的前項(xiàng)和為,則_____.
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