Question

【題目】定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱函數(shù)是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界．已知函數(shù)．

（1）當時，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請說明理由；

（2）若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）不是有界函數(shù)，理由見解析；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)在區(qū)間上的值域，結(jié)合題中定義判斷即可；

（2）由題意可得，換元，將問題轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，結(jié)合參變量分離法可求得實數(shù)的取值范圍.

（1）當時，，

當時，，則，

所以，函數(shù)在上的值域為，

故不存在常數(shù)，使得成立，

因此，函數(shù)在上不是有界函數(shù)；

（2）函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，即，

令，則，即，．

由得，

令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以；

由得，

令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.

所以.

因此，實數(shù)的取值范圍是.