Question

在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC=AD=CD=DE=2，AB=1．
（Ⅰ）請(qǐng)?jiān)诰�段CE上找到點(diǎn)F的位置，使得恰有直線BF∥平面ACD，并證明這一事實(shí)；
（Ⅱ）求多面體ABCDE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：組合幾何體的面積、體積問題,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）因?yàn)锳B、DE均垂直于底面，可以斷定兩線段平行，且AB=

1

2

DE，可設(shè)想取CE、CD的中點(diǎn)，這樣可證得BF平行于平面ACD內(nèi)的直線，從而證得BF平行于平面ACD；
（Ⅱ）多面體實(shí)則是以C為頂點(diǎn)的四棱錐，底面ABED面積易求，可取AD的中點(diǎn)，與C連接后能證明為四棱錐的高，從而可求四棱錐的體積．

解答： 解：（Ⅰ）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥ED，
設(shè)F為線段CE的中點(diǎn)，H是線段CD的中點(diǎn)，
連接FH，則FH∥

1

2

DE，且FH=

1

2

DE．
∴FH

∥

=

AB，
∴四邊形ABFH是平行四邊形，∴BF∥AH，
由BF?平面ACD內(nèi)，AH?平面ACD，∴BF∥平面ACD；
（Ⅱ）取AD中點(diǎn)G，連接CG，CG⊥AD．
∵AB⊥平面ACD，∴CG⊥AB
又CG⊥AD，AB∩AD=A，∴CG⊥平面ABED，即CG為四棱錐C-ABED的高，
在等邊三角形ACD中，CG=

3

，S_ABED=

1

2

(1+2)×2=3．
∴V_C-ABED=

1

3

S_△AED•

3

=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，屬中檔題．